关于两类曲线积分

本文最后更新于:2022年1月22日 晚上

顾名思义,曲线积分的积分区域为一条曲线,既与一重积分不同,也与二重积分不同。一重积分的积分区域是实轴上的直线段,二重积分则是一块平面。因此我们需要寻求新的求解积分值的方法,而无法直接沿用重积分的结论。

第一类曲线积分是对一段曲线(弧)[公式]的积分。积分微元为弧微分[公式],被积函数由于在弧线上取值,因此是二元函数[公式].积分值记为[公式].

其中被积函数[公式]在[公式]上取值。

弧[公式]上的点满足的方程可以由两种形式给出,一种是[公式],另一种则是参数方程的形式[公式]

对于第一种形式,被积函数可以写成只和[公式]有关的一元函数,即[公式],弧微分可以写成[公式],则曲线积分化为一重积分[公式].

对于第二种形式,被积函数可以写成只和[公式]有关的一元函数,即[公式],弧微分可以写成[公式].

这就是第一类曲线积分,可用于求解不均匀曲线段的质量,被积函数即为线质量密度。

在第一类曲线积分中,被积函数是标量,积分微元也是标量,两个标量的乘积也是标量。注意到两个矢量的内积也是标量,这就形成了第二类曲线积分。典型的第二类曲线积分问题为变力沿着曲线做的总功,记为[公式],其中[公式]为带方向的微分。

由内积的定义,积分化为[公式].

同样地,弧[公式]的方程也可由两种形式给出,最终也可化为一重积分。

在一重定积分中,有牛顿-莱布尼兹公式,它联系了积分值和原函数在端点处的取值,即[公式].在二重积分中,有类似的公式成立,即格林公式。由于积分区域是二维的,其边界不再是两个端点了,而是一个闭合的回路。

格林定理:设闭区域由分段光滑曲线[公式]围成,函数[公式]在[公式]上有一阶连续偏导数,则[公式].

等式左边是一个二重积分,右边是一个第二类曲线积分。定理的证明由偏导数的定义和牛顿-莱布尼兹公式可得到。

若进一步考虑一种特殊情况,即[公式]时,等式两边为0,即第二类曲线积分的值为0.而我们对积分路径[公式]并没有什么要求,因此此时曲线积分的值与路径无关。

如果将积分区域的曲线变为曲面的话,同样可以定义出第一类和第二类曲面积分。

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因为觉得写的比较好就转载学习了


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